Obtenha bases U subset R^2 e V subset R^3 relativamente às quais a matriz da transformação linear A: R^2 R^3, dada por A(x, y)=(2 x+ y, 3 x-2 y, x+3 y), tem as linhas (1,0),(0,1) e (0,0).

Passo 1

O enunciado pede bases UsubsetR^2 e VsubsetR^3 tais que a matriz de A nessas bases seja
M=1&00&10&0
Aqui o conteúdo é mudança de base: queremos que, se U=u1,u2 e V=v1,v2,v3, então
  • [A(u1)] V=(1,0,0)^T implica A(u1)=v1,
  • [A(u2)] V=(0,1,0)^T implica A(u2)=v2,
  • a terceira linha zero não impõe condição extra.

Passo 2

Para satisfazer A(u1)=v1 e A(u2)=v2, podemos escolher uma base simples em R^2. Tomemos
u1=(1,0), nu2=(0,1)
Então
A(1,0)=(2,3,1),
portanto definimos v1=(2,3,1),
A(0,1)=(1,-2,3),
portanto definimos v2=(1,-2,3)

Passo 3

Agora precisamos de v3 para completar V até dimensão 3. Basta escolher qualquer vetor que não esteja no span de v1,v2. Por exemplo,
v3=(0,0,1)
Verifica-se que v1,v2,v3 é linearmente independente (det ≠0).

Passo 4

Assim, com essas escolhas temos
  • U=(1,0),(0,1) em R^2,
  • V=(2,3,1),(1,-2,3),(0,0,1) em R^3,
e a matriz de A nessas bases é exatamente
1&00&10&0

Resposta

As bases desejadas são:
U=(1,0),(0,1)subsetR^2 e
V=(2,3,1),,(1,-2,3),,(0,0,1)subsetR^3

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