Obtenha bases
e
relativamente às quais a matriz da transformação linear
, dada por
, tem as linhas
e
.
Passo 1
O enunciado pede bases
e
tais que a matriz de
nessas bases seja
Aqui o conteúdo é mudança de base: queremos que, se
U=u1,u2 e
V=v1,v2,v3 , então
-
implica[A(u1)] V=(1,0,0)^T ,A(u1)=v1 -
implica[A(u2)] V=(0,1,0)^T ,A(u2)=v2 - a terceira linha zero não impõe condição extra.
Passo 2
Para satisfazer
A(u1)=v1 e
A(u2)=v2 , podemos escolher uma base simples em
R^2 . Tomemos
Então
portanto definimos
v1=(2,3,1) ,
portanto definimos
v2=(1,-2,3)
Passo 3
Agora precisamos de
v3 para completar
V até dimensão 3. Basta escolher qualquer vetor que não esteja no span de
v1,v2 . Por exemplo,
Verifica-se que
v1,v2,v3 é linearmente independente (det ≠0).
Passo 4
Assim, com essas escolhas temos
-
emU=(1,0),(0,1) ,R^2 -
emV=(2,3,1),(1,-2,3),(0,0,1) ,R^3
e a matriz de
A nessas bases é exatamente
Resposta
As bases desejadas são: