Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \sqrt{x} \cos \sqrt{x^{3}} d x;
u=x^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x^{3}}\bigr)\,dx
usando a substituição indicada
u = x^{3/2}.
Isso é um caso clássico de integração por substituição: trocamos a variável x pela variável u, ajustamos dx e reescrevemos toda a integral em termos de u.

Passo 2

Definimos
u = x^{3/2}.
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = \frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx = \frac{3}{2}\,\sqrt{x}\,dx.
Isolando \sqrt{x}\,dx temos
\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Observe que
\sqrt{x^3} = \bigl(x^3\bigr)^{1/2} = x^{3/2} = u.
Substituindo na integral original:
\int \sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x^3}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\bigl(\sqrt{x}\,dx\bigr) = \int \cos(u)\,\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

A integral de \cos(u) é \sin(u). Logo,
\frac{2}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{2}{3}\,\sin(u) + C.
Voltando à variável x (isto é, u = x^{3/2}):
\frac{2}{3}\,\sin\bigl(x^{3/2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,\sin\bigl(x^{3/2}\bigr) + C.

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