Calcule o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes. \left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 1 \\\\ 3 & 0 & -1 & -2 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma matriz 4\times5 e pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss para descobrir quantas linhas independentes ela tem e, em seguida, aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz
\dim(\ker A)+\dim(\operatorname{Im}A)=\text{nº de colunas}.º
Passo 2
Começamos escrevendo a matriz e eliminando abaixo do pivô em (1,1):
Há exatamente dois pivôs, um em cada uma das duas primeiras linhas não nulas.
Passo 4
Como há 2 pivôs, o posto é
\operatorname{rank}(A)=2.
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, com 5 colunas,
\dim(\ker A)=5-2=3.
Resposta
posto =2, nulidade =3.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 6.6. Exercícios com o Matlab - Ex. ML.4.b