Calcule o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 1 \\\\ 3 & 0 & -1 & -2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 4\times5 e pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss para descobrir quantas linhas independentes ela tem e, em seguida, aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz
\dim(\ker A)+\dim(\operatorname{Im}A)=\text{nº de colunas}.º

Passo 2

Começamos escrevendo a matriz e eliminando abaixo do pivô em (1,1):
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 1\\\\ 3 & 0 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Fazendo
R_2\gets R_2-2R_1,\quad R_3\gets R_3-R_1,\quad R_4\gets R_4-3R_1,
obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -3 & -2 & -4 & 0\\\\ 0 & -3 & -2 & -4 & 0\\\\ 0 & -6 & -4 & -8 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos o pivô em (2,2) e eliminamos abaixo:
R_3\gets R_3-R_2,\quad R_4\gets R_4-2R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -3 & -2 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há exatamente dois pivôs, um em cada uma das duas primeiras linhas não nulas.

Passo 4

Como há 2 pivôs, o posto é
\operatorname{rank}(A)=2.
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, com 5 colunas,
\dim(\ker A)=5-2=3.

Resposta

posto =2, nulidade =3.

Exercícios de Livros Relacionados