Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 49^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=49^{\sqrt{x}}.
Aqui vamos usar a derivada de uma exponencial de base constante combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo a função em termos de exponencial natural, temos
f(x)=49^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}\,\ln(49)}.

Passo 3

Aplicando a derivada de e^{u(x)} (onde u(x)=\sqrt{x}\,\ln(49)), obtemos
f'(x) =e^{\sqrt{x}\,\ln(49)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\,\ln(49)\bigr) =e^{\sqrt{x}\,\ln(49)}\,\ln(49)\,\frac{d}{dx}\sqrt{x}.

Passo 4

Como
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
segue que
f'(x) =e^{\sqrt{x}\,\ln(49)}\,\ln(49)\,\frac{1}{2\sqrt{x}} =49^{\sqrt{x}}\;\frac{\ln(49)}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Observando que \ln(49)=2\ln(7), podemos simplificar ainda mais:
f'(x) =49^{\sqrt{x}}\;\frac{2\ln(7)}{2\sqrt{x}} =49^{\sqrt{x}}\;\frac{\ln(7)}{\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x) =49^{\sqrt{x}}\;\frac{\ln(49)}{2\sqrt{x}} \quad\text{ou}\quad f'(x)=49^{\sqrt{x}}\;\frac{\ln(7)}{\sqrt{x}}.

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