Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = \left(x^{2}+1\right) 10^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(x^2+1)\,10^{1/x}. O conteúdo é a derivada de um produto envolvendo uma função polinomial e uma exponencial de base 10 com expoente 1/x. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar 10^{g(x)}.

Passo 2

Identificamos as funções u(x)=x^2+1
e v(x)=10^{1/x}.
Pela regra do produto temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivando u(x) obtemos
u'(x)=2x.

Passo 4

Para derivar v(x)=10^{1/x} usamos que a derivada de a^{g(x)} é
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x).
Aqui a=10 e g(x)=1/x implica
g'(x)=-\frac{1}{x^2}.
Logo
v'(x)=10^{1/x}\,\ln(10)\,\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) =-\frac{\ln(10)}{x^2}\,10^{1/x}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=2x\cdot10^{1/x}+(x^2+1)\Bigl(-\frac{\ln(10)}{x^2}10^{1/x}\Bigr)
e fatorando 10^{1/x} resulta
f'(x)=10^{1/x}\Bigl(2x-\frac{x^2+1}{x^2}\ln(10)\Bigr).

Passo 6

Podemos escrever ainda como
f'(x)=\frac{10^{1/x}}{x^2}\Bigl(2x^3-(x^2+1)\ln(10)\Bigr).

Resposta

f'(x)=10^{1/x}\Bigl(2x-\frac{x^2+1}{x^2}\ln(10)\Bigr).

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