28 O campo de certo jogo tem a forma de um quadrado de 20 m de lado. Um dos vértices é o ponto de partida, e os outros são as bases. Se um jogador está correndo da segunda para a terceira base a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a que taxa sua distância da origem está variando quando ele está a 6 m da terceira base?

Passo 1

O enunciado descreve um campo quadrado de lado 20 m com vértices em: origem (home), primeira base, segunda base e terceira base. O jogador corre da segunda para a terceira base com velocidade conhecida e queremos saber a que taxa a sua distância até a origem varia no instante em que ele está a 6 m da terceira base. Vamos usar coordenadas cartesianas e derivação implícita.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas:
\text{origem}=(0,0),\quad \text{primeira base}=(20,0),\quad \text{segunda base}=(20,20),\quad \text{terceira base}=(0,20).
Como o jogador vai da segunda para a terceira base, ele se move sobre a reta y=20 com abscissa x(t) variando de 20 até 0. A distância dele até a terceira base é exatamente x(t).

Passo 3

Como ele se aproxima da terceira base a 8 m/s, temos
\frac{dx}{dt} = -8\\ \text{m/s},
já que x diminui no tempo.

Passo 4

A distância r do jogador até a origem é
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + 20^2} = \sqrt{x^2 + 400}.
Derivando em função de t,
\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+400}}\cdot 2x\frac{dx}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^2+400}}\;\frac{dx}{dt}.

Passo 5

No instante em que ele está a 6 m da terceira base, vale x=6 e \tfrac{dx}{dt}=-8. Logo,
\frac{dr}{dt} = \frac{6\cdot(-8)}{\sqrt{6^2+400}} = -\frac{48}{\sqrt{436}} = -\frac{48}{2\sqrt{109}} = -\frac{24}{\sqrt{109}}\\ \text{m/s} \approx -2{,}3\\ \text{m/s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dr}{dt} = -\frac{24}{\sqrt{109}}\\ \text{m/s} \approx -2{,}3\\ \text{m/s}.

Exercícios de Livros Relacionados