A circunferência concêntrica a x^2+y^2-8 x+12 y=0 e tangente à reta 5 x+12 y=0 tem raio igual a
a) 1
b) 12
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2 + y^2 - 8x + 12y = 0
e pede o raio da circunferência que é concêntrica a essa e tangente à reta
5x + 12y = 0
Para resolver, precisamos (i) encontrar o centro da circunferência dada completando quadrados e (ii) usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta para determinar o raio.

Passo 2

Vamos escrever a equação em forma padrão (x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2 .
x^2 - 8x + y^2 + 12y = 0
completa-se quadrados em x e em y:
(x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 = 0
Longrightarrow (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 52
Logo, o centro é C = (4,,-6).

Passo 3

A nova circunferência tem centro C=(4,-6) e raio r.
Como ela é tangente à reta 5x+12y=0, a distância de C a essa reta deve valer r.
A fórmula da distância de (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
dist = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aqui A=5, B=12, C=0, x0=4, y0=-6. Assim
r = l|5cdot4 + 12cdot(-6) + 0r|raiz5^2 + 12^2 = |20 - 72|13 = 5213 = 4

Resposta

(d)

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