Conduzir pelo ponto P(cos theta, sen theta) a reta tangente à circunferência x^2+y^2=1, nos casos
theta=90^circ

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à circunferência
x^2+y^2=1
no ponto
Pl(costheta,sinthetar)
quando theta=90^circ.
O conteúdo envolvido é a geometria analítica de círculos: usamos o fato de que o vetor normal à circunferência em P é nabla(x^2+y^2)|P=(2costheta,2sintheta), e a reta tangente é perpendicular a esse vetor normal.

Passo 2

Para obter a equação do tangente em P(x0,y0), escrevemos que o vetor (x - x0,y - y0) é ortogonal ao vetor normal (2x0,2y0). Assim,
2x0(x - x0) + 2y0(y - y0) = 0
Distribuindo e simplificando por 2, obtemos
x0,x + y0,y = x0^2 + y0^2
Como P pertence à circunferência unitária, x0^2+y0^2=1. Logo, a equação geral do tangente é
x0,x + y0,y = 1

Passo 3

Substituímos x0=costheta e y0=sintheta na equação do tangente:
costheta;x + sintheta;y = 1

Passo 4

No caso theta=90^circ temos cos90^circ=0 e sin90^circ=1. Portanto a equação fica
0cdot x + 1cdot y = 1 Longrightarrow y = 1

Resposta

A reta tangente no ponto P(0,1) é
y = 1.

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