Considere a elipse com equação
.
Determine a maior e a menor abcissa, assim como a maior e a menor ordenada, entre todos os pontos desta elipse.
Sugestão: observe o gráfico da elipse e estude a equação da elipse.
Auto-avaliação
Se você sabe determinar a equação reduzida da elipse, a partir das propriedades geométricas; esboçar o gráfico da elipse, usando a sua equação reduzida; determinar as coordenadas dos vértices, dos focos e das extremidades do eixo menor, a partir da equação reduzida, então pode passar para a próxima aula. Vamos para a Aula 23 estudar a hipérbole, que também satisfaz uma interessante propriedade reflexiva!
Sugestão: observe o gráfico da elipse e estude a equação da elipse.
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse de equação
e pede a maior e a menor abcissa (x) e ordenada (y) dessa elipse. Vamos usar o método de completar quadrados para obter a forma canônica da elipse e, a partir dela, extrair as extremidades dos eixos.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos de
e de
e completamos quadrados:
Passo 3
Completando quadrados dentro dos parênteses:
Passo 4
Simplificando essa expressão:
o que leva a
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma reduzida da elipse:
Passo 6
Dessa forma, identificamos o centro
, o semi-eixo horizontal
e o semi-eixo vertical
.
Passo 7
As extremidades do eixo horizontal dão as abcissas mínimas e máximas:
Passo 8
As extremidades do eixo vertical dão as ordenadas mínimas e máximas:
Resposta
Menor abcissa: -4; Maior abcissa: 0; Menor ordenada: 0; Maior ordenada: 6.