Considere a elipse com equação 9 x^2+36 x+4 y^2-24 y+36=0.
Determine a maior e a menor abcissa, assim como a maior e a menor ordenada, entre todos os pontos desta elipse.
Sugestão: observe o gráfico da elipse e estude a equação da elipse.

Auto-avaliação

Se você sabe determinar a equação reduzida da elipse, a partir das propriedades geométricas; esboçar o gráfico da elipse, usando a sua equação reduzida; determinar as coordenadas dos vértices, dos focos e das extremidades do eixo menor, a partir da equação reduzida, então pode passar para a próxima aula. Vamos para a Aula 23 estudar a hipérbole, que também satisfaz uma interessante propriedade reflexiva!

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse de equação 9x^2 + 36x + 4y^2 - 24y + 36 = 0 e pede a maior e a menor abcissa (x) e ordenada (y) dessa elipse. Vamos usar o método de completar quadrados para obter a forma canônica da elipse e, a partir dela, extrair as extremidades dos eixos.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos de x e de y e completamos quadrados:
9(x^2 + 4x) + 4(y^2 - 6y) + 36 = 0

Passo 3

Completando quadrados dentro dos parênteses:
9l((x+2)^2 - 4r) + 4l((y-3)^2 - 9r) + 36 = 0

Passo 4

Simplificando essa expressão:
9(x+2)^2 + 4(y-3)^2 - 36 - 36 + 36 = 0
o que leva a
9(x+2)^2 + 4(y-3)^2 = 36

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 36, obtemos a forma reduzida da elipse:
(x+2)^24 + (y-3)^29 = 1

Passo 6

Dessa forma, identificamos o centro C(-2,3), o semi-eixo horizontal b = 2 e o semi-eixo vertical a = 3.

Passo 7

As extremidades do eixo horizontal dão as abcissas mínimas e máximas:
xmin = -2 - 2 = -4, xmax = -2 + 2 = 0

Passo 8

As extremidades do eixo vertical dão as ordenadas mínimas e máximas:
ymin = 3 - 3 = 0, ymax = 3 + 3 = 6

Resposta

Menor abcissa: -4; Maior abcissa: 0; Menor ordenada: 0; Maior ordenada: 6.

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