Esboce o gráfico das elipses:
(f) 9(x+2)^2+4(y-3)^2=36

Passo 1

A equação dada é 9(x+2)^{2} + 4(y-3)^{2} = 36; o conteúdo é geometria analítica de cônicas, mais especificamente elipse. Vamos precisar colocar na forma padrão e identificar centro, comprimentos dos semi-eixos e vértices.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma canônica:
9(x+2)^236 + 4(y-3)^236 = 1
Simplificando os denominadores:
(x+2)^24 + (y-3)^29 = 1

Passo 3

Da forma (x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 = 1 com a^2=9 e b^2=4, vemos que o centro é (h,k)=(-2,3). Como a>b, o eixo maior é vertical.

Passo 4

O comprimento do semi-eixo maior é a=3 e do semi-eixo menor é b=2. Assim os vértices principais, ao longo do eixo vertical, são:
(-2,3+3)=(-2,6)
(-2,3-3)=(-2,0)
E os vértices secundários, ao longo do eixo horizontal, são:
(-2+2,3)=(0,3)
(-2-2,3)=(-4,3)

Passo 5

Para ter os focos, usamos c^2=a^2-b^2=9-4=5, logo c=raiz5. Os focos ficam em:
(-2,3+raiz5)
(-2,3-raiz5)

Passo 6

Pronto! Com centro, vértices e focos identificados, é simples esboçar a elipse: eixo maior vertical de comprimento total 6, eixo menor horizontal de comprimento total 4, centralizados em (-2,3).

Resposta

Centro em (-2,3), semi-eixos a=3 (vertical) e b=2 (horizontal), vértices em (-2,6), (-2,0), (0,3), (-4,3), e focos em (-2,3±√5).

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