Esboce o gráfico das elipses:
(f)
(f)
Passo 1
A equação dada é 9(x+2)^{2} + 4(y-3)^{2} = 36; o conteúdo é geometria analítica de cônicas, mais especificamente elipse. Vamos precisar colocar na forma padrão e identificar centro, comprimentos dos semi-eixos e vértices.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma canônica:
Simplificando os denominadores:
Passo 3
Da forma
com
e
, vemos que o centro é
. Como
, o eixo maior é vertical.
Passo 4
O comprimento do semi-eixo maior é
e do semi-eixo menor é
. Assim os vértices principais, ao longo do eixo vertical, são:
E os vértices secundários, ao longo do eixo horizontal, são:
Passo 5
Para ter os focos, usamos
, logo
. Os focos ficam em:
Passo 6
Pronto! Com centro, vértices e focos identificados, é simples esboçar a elipse: eixo maior vertical de comprimento total 6, eixo menor horizontal de comprimento total 4, centralizados em (-2,3).
Resposta
Centro em (-2,3), semi-eixos a=3 (vertical) e b=2 (horizontal), vértices em (-2,6), (-2,0), (0,3), (-4,3), e focos em (-2,3±√5).