Determine as coordenadas do vetor de em relação às bases:

Passo 1

O enunciado pede para expressar a matriz
M = 2 & 3 [6pt] 4 & -7
como combina\c{c}~ao linear das matrizes da base
B1 = 1 & 1 [3pt] 1 & 1, B2 = 1 & -1 [3pt] 1 & 0, B3 = 1 & -1 [3pt] 0 & 0, B4 = 3 & -5 [3pt] 6 & 7
O conte’udo 'e representa\c{c}~ao de vetor num espa\c{c}o vetorial de dimens~ao 4 (as matrizes 2times2) em rela\c{c}~ao a uma base. Vamos precisar montar a combina\c{c}~ao
aB1 + bB2 + cB3 + dB4 ;=; M
e resolver para a,b,c,d.]

Passo 2

Escrevendo a combina\c{c}~ao e somando termo a termo, obtemos
aB1 = a & a a & a, bB2 = b & -b b & 0, cB3 = c & -c 0 & 0, dB4 = 3d & -5d 6d & 7d
Logo
aB1 + bB2 + cB3 + dB4 = a + b + c + 3d & a - b - c - 5d [4pt] a + b + 6d & a + 7d ]

Passo 3

Comparando com M=2 & 3 [3pt] 4 & -7, obtemos o sistema
a + b + c + 3d = 2, a - b - c - 5d = 3, a + b + 6d = 4, a + 7d = -7 ]

Passo 4

Resolvendo por substituição:
1. Da quarta equação a + 7d = -7 temos
a = -7 - 7d
2. Substituindo em a + b + 6d = 4
(-7 -7d) + b + 6d = 4 Longrightarrow b = 11 + d
3. Substituindo a em a + b + c + 3d = 2
(-7 -7d) + (11 + d) + c + 3d = 2 Longrightarrow c = -2 + 3d
4. Finalmente, da segunda equação
a - b - c - 5d = 3
substituímos a,b,c em termos de d e achamos
d = -tfrac1916

Passo 5

Voltando em cada expressão:
d = -tfrac1916, a = -7 -7d = tfrac2116, b = 11 + d = tfrac15716, c = -2 +3d = -tfrac8916

Resposta

As coordenadas de M na base dada são
l(a,b,c,dr) = l(tfrac2116,,tfrac15716,,-tfrac8916,,-tfrac1916r)

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