Seja o espaço vetorial V=M2(R). Considere B como sendo a base canônica desse espaço. Ademais, considere a base
C=[rr 1 & 1 -1 & 0 ],[ll 0 & 1 1 & 0 ],[ll 2 & 0 0 & 3 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ]
Determine a matriz de mudança da base B para a base C e de C para B.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de base entre a base canônica
,B=E11,E12,E21,E22
de V=M2(R) e a base
C=l 1&1-1&0, 0&11&0, 2&00&3, 0&10&0 r
Para resolver, vamos:
  1. Expressar cada vetor de C nas coordenadas de B.
  2. Montar a matriz M cujas colunas são essas coordenadas (mudança de C para B).
  3. Inverter M para obter a mudança de B para C.

Passo 2

Expressamos cada elemento de C em coordenadas da base canônica B:
C1 &= 1&1-1&0 =1,E11+1,E12-1,E21+0,E22 longrightarrow (1,1,-1,0)^T, C2 &= 0&11&0 =0,E11+1,E12+1,E21+0,E22 longrightarrow (0,1,1,0)^T, C3 &= 2&00&3 =2,E11+0,E12+0,E21+3,E22 longrightarrow (2,0,0,3)^T, C4 &= 0&10&0 =0,E11+1,E12+0,E21+0,E22 longrightarrow (0,1,0,0)^T

Passo 3

A matriz de mudança de C para B, que chamamos de M, é obtida colocando essas coordenadas como colunas:
M= 1 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 1 -1& 1 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 ,
de modo que para todo vin V vale
[v]B ;=; M,[v]C

Passo 4

Para encontrar a mudança de base de B para C, basta inverter M.
Fazendo eliminação de Gauss e escalonando, achamos
M^-1 = 1 & 0 & 0 & -tfrac23 1 & 0 & 1 & -tfrac23 0 & 0 & 0 & tfrac13 -2& 1 & -1& tfrac43 ,
de modo que
[v]C ;=; M^-1,[v]B

Resposta

A matriz de mudança da base B para a base C é
PC B = M^-1 = 1 & 0 & 0 & -tfrac23 1 & 0 & 1 & -tfrac23 0 & 0 & 0 & tfrac13 -2& 1 & -1& tfrac43 ,
e a matriz de mudança da base C para a base B é
PB C = M = 1 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 1 -1& 1 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0

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