Dada R(x)=(3 x-1) /(4 x+2), determine
R(x+h)-R(x)h

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação média de R(x) = 3x - 14x + 2 quando o ponto x sofre um incremento h. Vamos usar diferenças de frações e álgebra para chegar em uma expressão simplificada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o quociente diferença:
R(x+h)-R(x)h = 1hgl(3(x+h)-14(x+h)+2 - 3x-14x+2gr)

Passo 3

Em seguida, colocamos as duas frações sobre o mesmo denominador e subtraímos:
3(x+h)-14(x+h)+2 - 3x-14x+2 = (3x+3h-1)(4x+2) - (3x-1)(4x+4h+2)(4x+4h+2)(4x+2)

Passo 4

Agora expandimos cada produto no numerador:
  • (3x+3h-1)(4x+2) = 12x^2 + 2x +12xh +6h -2
  • (3x-1)(4x+4h+2) = 12x^2 + 2x +12xh -4h -2
    Subtraindo o segundo do primeiro, obtemos
(12x^2+2x+12xh+6h-2) - (12x^2+2x+12xh-4h-2) = 10h

Passo 5

Então o numerador completo da diferença dividida por h é 10h, e o denominador é h(4x+4h+2)(4x+2). Cancelando h fica
10hh,(4x+4h+2)(4x+2) = 10(4x+4h+2)(4x+2)
Podemos também factorar 2 em cada parêntese e simplificar:
(4x+4h+2)=2(2x+2h+1), (4x+2)=2(2x+1),
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102cdot2,(2x+2h+1)(2x+1)=52(2x+2h+1)(2x+1)

Resposta

R(x+h)-R(x)h=10(4x+4h+2)(4x+2)=52,(2x+2h+1)(2x+1)

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