Dadas a in M(m times m), b in M(n times n) e c in M(m times n), com posto de a=r e posto de b=s, que postos pode ter a matriz abaixo?
[ll a & c 0 & b ]

Passo 1

Temos a matriz bloco M=a&c0&b de ordem (m+n)times(m+n), com posto de a=r e posto de b=s. Vamos achar os possíveis valores de posto de M.

Passo 2

Como M é triangular por blocos, as colunas das dois blocos diagonais são independentes entre si. Logo, no mínimo temos
rank(M)>=rank(a)+rank(b)=r+s

Passo 3

Agora, para o termo extra vindo de c: as colunas de c correspondem às colunas de M cujas partes inferiores são as colunas de b. As colunas de b geram um espaço de dimensão s em baixo. As colunas de c cuja parte de b cai no núcleo de b (dimensão n-s) podem contribuir com novas direções na parte superior, de dimensão até m-r, para não se sobreporem ao espaço de a. Assim o acréscimo máximo é
minl(m-r,,n-sr)

Passo 4

Portanto o posto de M varia de forma contígua entre o mínimo e o máximo:
r+s<=rank(M)<= r+s+min(m-r,n-s)

Passo 5

Como podemos ajustar c para que cada valor intermediário seja atingido, concluímos que os possíveis postos de M são exatamente todos os inteiros
r+s,;r+s+1,;dots,;r+s+min(m-r,n-s)

Resposta

Os possíveis postos são todos os inteiros de
r+saté r+s+min(m-r,n-s)é

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