Calcule o posto da matriz
[lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 2 & 1 & 0 ]
e mostre que o subespaço gerado por suas linhas é diferente daquele gerado por suas colunas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto da matriz
A=1 & 2 & 34 & 5 & 62 & 1 & 0
Além disso, precisamos mostrar que o subespaço gerado pelas linhas de A (row space) é diferente do subespaço gerado pelas colunas de A (column space). Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e depois comparar os dois subespaços.

Passo 2

Primeiro aplicamos eliminação de Gauss em A para achar o posto. Partindo de
1 & 2 & 34 & 5 & 62 & 1 & 0,
fazemos R₂←R₂−4R₁ e R₃←R₃−2R₁, obtendo
1 & 2 & 30 & -3 & -60 & -3 & -6
Como R₃=R₂, subtraímos R₃←R₃−R₂ e ficamos com uma linha nula. Restam duas linhas não nulas, logo o posto é 2.

Passo 3

Agora identificamos bases dos dois subespaços. As linhas-pivô depois da eliminação geram o row space. Podemos tomar como base de Row(A):
(1,2,3),(0,-3,-6)
Para simplificar, dividimos a segunda por −3 e obtemos base equivalente
(1,2,3),(0,1,2)
Para Column(A), tomamos as duas colunas independentes originais, por exemplo:
(1,4,2),(2,5,1)

Passo 4

Para provar que os subespaços são diferentes, basta exibir um vetor em Row(A) que não esteja em Column(A). Um exemplo é
v=(0,1,2)
Como v está na base de Row(A), temos v∈Row(A). Mas não existe (a,b) tais que
a(1,4,2)+b(2,5,1)=(0,1,2),
pois resolver
a+2b=04a+5b=12a+b=2
é inconsistente. Logo v∉Column(A), mostrando que Row(A)≠Column(A).

Resposta

O posto da matriz é 2, e como por exemplo (0,1,2) está em Row(A) mas não em Column(A), os subespaços gerados pelas linhas e pelas colunas são distintos.

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