Calcule o posto da matriz
e mostre que o subespaço gerado por suas linhas é diferente daquele gerado por suas colunas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o posto da matriz
Além disso, precisamos mostrar que o subespaço gerado pelas linhas de A (row space) é diferente do subespaço gerado pelas colunas de A (column space). Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e depois comparar os dois subespaços.
Passo 2
Primeiro aplicamos eliminação de Gauss em A para achar o posto. Partindo de
fazemos R₂←R₂−4R₁ e R₃←R₃−2R₁, obtendo
Como R₃=R₂, subtraímos R₃←R₃−R₂ e ficamos com uma linha nula. Restam duas linhas não nulas, logo o posto é 2.
Passo 3
Agora identificamos bases dos dois subespaços. As linhas-pivô depois da eliminação geram o row space. Podemos tomar como base de Row(A):
Para simplificar, dividimos a segunda por −3 e obtemos base equivalente
Para Column(A), tomamos as duas colunas independentes originais, por exemplo:
Passo 4
Para provar que os subespaços são diferentes, basta exibir um vetor em Row(A) que não esteja em Column(A). Um exemplo é
Como v está na base de Row(A), temos v∈Row(A). Mas não existe (a,b) tais que
pois resolver
é inconsistente. Logo v∉Column(A), mostrando que Row(A)≠Column(A).
Resposta
O posto da matriz é 2, e como por exemplo (0,1,2) está em Row(A) mas não em Column(A), os subespaços gerados pelas linhas e pelas colunas são distintos.