Suponha que os operadores lineares
têm a mesma matriz
em relação a duas bases
. Prove que existe um isomorfismo
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois operadores lineares A,B: E→E que, quando escritos em coordenadas nas bases U={u₁,…,uₙ} e V={v₁,…,vₙ}, têm a mesma matriz a=[a_{ij}]. O que queremos provar é que existe um isomorfismo C:E→E tal que B=C A C^{-1}. Para isso, vamos usar a construção canônica do isomorfismo que leva uma base na outra e depois verificar a relação de conjugação.
Passo 2
Como ponto de partida, recorde que, dado um par de bases U e V de um espaço vetorial de mesma dimensão, existe um único isomorfismo linear C que leva cada vetor de U no vetor correspondente de V. Definimos C por linearidade e pela regra:
Essa definição determina C de forma única em todo E e mostra que C é bijetora (logo isomorfismo), pois transforma uma base em outra.
Passo 3
Agora vamos mostrar que B=C A C^{-1}. Basta verificar a igualdade sobre cada vetor da base V. Tome v_j\in V. Como v_j=C(u_j), temos:
Como a_{ij} são as coordenadas de A em relação a U,
Aplicando C e usando C(u_i)=v_i, vem
Mas essas são exatamente as coordenadas de B(v_j) na base V, ou seja,
Logo C A C^{-1}(v_j)=B(v_j) para todo j.
Passo 4
Como U e V são bases, a igualdade acima em cada vetor de V implica que B=C A C^{-1} como operadores em todo E. Portanto construímos o isomorfismo desejado.
Resposta
O isomorfismo C é dado pela extensão linear de C(u_j)=v_j para j=1,…,n. Com essa definição, C é inversível e satisfaz B=C A C^{-1}.