Prove que uma matriz
tem posto
se, e somente se, é possível selecionar
linhas e
colunas (porém não mais) de modo que os elementos comuns a elas formem uma matriz invertível
. [Sugestão: reduza ao caso
e aplique o Teorema 8.2.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz A de tamanho m×n tem posto r se, e somente se, podemos escolher r linhas e r colunas cujos índices formem uma submatriz A_{I,J} de ordem r que é invertível. O conteúdo principal envolve definição de posto (dimensão do espaço de linhas/colunas), operação de permutação de linhas/colunas e o Teorema 8.2: “Uma matriz quadrada de ordem s é inversível se, e somente se, seu posto é s.”
Passo 2
Vamos começar mostrando que, se existe uma submatriz r×r invertível, então rank(A)=r. Suponha que existam conjuntos I e J, ambos com r índices, tais que A_{I,J} seja invertível. Como as r colunas de A_{I,J} são linearmente independentes e também as r linhas são independentes, temos rank(A)≥r. Por outro lado, não podem existir mais de r colunas (ou linhas) independentes, pois senão teríamos uma submatriz de ordem maior que r invertível. Concluímos rank(A)=r.
Passo 3
Agora façamos o sentido inverso: se rank(A)=r, mostramos que dá para extrair uma submatriz invertível de ordem r. Defina s=\min{m,n}. Se m<s, acrescente (s−m) linhas nulas; se n<s, acrescente (s−n) colunas nulas. Chame B essa matriz quadrada s×s. Note que essas operações não mudam o posto: rank(B)=rank(A)=r.
Passo 4
Como rank(B)=r<s, aplicamos o Teorema 8.2 junto com operações de permutação de linhas e colunas (matrizes de permutação P e Q) para colocar B na forma de bloco de Gauss:
onde I_r é a identidade r×r. Nesse produto, a submatriz formada pelas primeiras r linhas e primeiras r colunas é exatamente I_r, que é invertível.]
Passo 5
Voltando ao A original, as permutações P e Q simplesmente reordenam linhas e colunas sem alterar o posto nem a invertibilidade de blocos. Logo, podemos identificar índices I e J em A tais que A_{I,J} corresponda a esse bloco I_r. Assim encontramos r linhas e r colunas em A cuja submatriz é invertível.
Passo 6
Concluímos, portanto, que rank(A)=r se, e somente se, existe uma escolha de r linhas e r colunas cujo cruzamento forma uma submatriz invertível de ordem r.
Resposta
Rank(A)=r ⇔ existe submatriz r×r invertível formada por r linhas e r colunas de A.