Dado o subconjunto não-vazio
do espaço vetorial
, a variedade afim gerada por
é, por definição, o conjunto
de todas as combinações lineares
, com
. Prove que
(a)
é uma variedade afim;
(b) Fixado qualquer
, tem-se
, onde
é o subespaço vetorial de E gerado pelos vetores
, onde
.
(a)
(b) Fixado qualquer
Passo 1
O enunciado define a variedade afim gerada por um conjunto não‐vazio
como
O conteúdo aqui é “conjunto afim” (variedade afim) e vamos precisar de duas coisas: (i) mostrar que
é de fato um conjunto afim — isto é, fechado sob combinações afins — e (ii) fixar um ponto
e provar que
, onde
Passo 2
Para mostrar que
é um conjunto afim, pegamos dois pontos quaisquer
em
, com
e
, e qualquer escalar
. Então a combinação afin
é da forma de uma soma de vetores de
cujos coeficientes somam
Logo
, e
é fechado sob combinações afins, ou seja, é variedade afim.
Passo 3
Definimos
Primeiro, seja
Então
e portanto
. Isso mostra
.
Passo 4
Para a inclusão inversa, tome um elemento genérico de
:
Reescrevendo,
e os coeficientes somam
Isso mostra
. Logo
.
Passo 5
Combinando as duas inclusões, concluímos que
, onde
Resposta
V(X) é uma variedade afim e, para todo
, temos