Dado o subconjunto não-vazio X do espaço vetorial E, a variedade afim gerada por X é, por definição, o conjunto V(X) de todas as combinações lineares alpha1 v1+cdots+alphan vn, com v1, ldots, vn in Xe alpha1+cdots+alphan=1. Prove que
(a) V(X) é uma variedade afim;
(b) Fixado qualquer v0 in X, tem-se V(X)=v0+F, onde F é o subespaço vetorial de E gerado pelos vetores v-v0, onde v in X.

Passo 1

O enunciado define a variedade afim gerada por um conjunto não‐vazio como
O conteúdo aqui é “conjunto afim” (variedade afim) e vamos precisar de duas coisas: (i) mostrar que é de fato um conjunto afim — isto é, fechado sob combinações afins — e (ii) fixar um ponto e provar que , onde

Passo 2

Para mostrar que V(X) é um conjunto afim, pegamos dois pontos quaisquer
y1=sumi=1^nalphai vi, y2=sumj=1^mbetaj wj
em V(X), com sumialphai=1 e sumjbetaj=1, e qualquer escalar t. Então a combinação afin
t y1+(1-t)y2 =sumi=1^n (talphai) vi + sumj=1^ml((1-t)betajr) wj
é da forma de uma soma de vetores de X cujos coeficientes somam
sumi=1^n talphai + sumj=1^m(1-t)betaj =tcdot1+(1-t)cdot1=1
Logo t y1+(1-t)y2in V(X), e V(X) é fechado sob combinações afins, ou seja, é variedade afim.

Passo 3

Definimos
F=spanv-v0: vin X
Primeiro, seja
z=sumi=1^nalphai viin V(X), sumialphai=1
Então
z-v0=sumi=1^nalphai(vi-v0)in F
e portanto z=v0+(z-v0)in v0+F. Isso mostra V(X)subset v0+F.

Passo 4

Para a inclusão inversa, tome um elemento genérico de v0+F:
w=v0+sumk=1^r gammak(uk-v0), ukin X,;gammakinBbb K
Reescrevendo,
w=sumk=1^rgammak uk + l(1-sumk=1^rgammakr)v0,
e os coeficientes somam
sumk=1^rgammak + l(1-sumk=1^rgammakr)=1
Isso mostra win V(X). Logo v0+Fsubset V(X).

Passo 5

Combinando as duas inclusões, concluímos que V(X)=v0+F, onde F=spanv-v0:vin X

Resposta

V(X) é uma variedade afim e, para todo v0in X, temos
V(X)=v0 + spanv-v0:,vin X

Exercícios de Livros Relacionados