Num espaço vetorial
, de dimensão finita, com produto interno
, seja B um operador positivo. Prove que
define um novo produto interno em E . Se
é auto-adjunto no sentido do produto interno original, prove que
é também autoadjunto no sentido do novo produto interno se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno original
e um operador positivo
, a forma bilinear definida por
é um produto interno. Em seguida, com
autoadjunto no produto interno original, precisamos provar que
é também autoadjunto no novo produto interno se, e somente se,
.
Passo 2
Precisamos checar três propriedades para
ser produto interno: simetria, linearidade e positividade definida. Vamos usar que
é positivo, o que implica
e
para
.
Passo 3
Mostrando simetria: como
é autoadjunto no produto original, vale
. Portanto
o que garante a simetria do novo produto interno.
Passo 4
Verificando linearidade: o produto original é bilinear (linear em cada argumento, em espc. no 1.º se for real). Logo, para escalares
e vetores
, temos
A linearidade na segunda entrada segue da simetria e da linearidade já mostrada.
Passo 5
Mostrando positividade definida: para
, como
é positivo,
Assim,
satisfaz todas as condições de um produto interno.
Resposta
Agora, para a segunda parte,
é autoadjunto no novo produto interno se, e somente se, para todos
,