Num espaço vetorial E, de dimensão finita, com produto interno lang<= u, vrang<=, seja B um operador positivo. Prove que [u, v]=lang<=Bu, vrang<= define um novo produto interno em E . Se A: E E é auto-adjunto no sentido do produto interno original, prove que A é também autoadjunto no sentido do novo produto interno se, e somente se, A B=B A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno original ⟨u,v⟩ e um operador positivo B, a forma bilinear definida por [u,v]=⟨B u,v⟩ é um produto interno. Em seguida, com A autoadjunto no produto interno original, precisamos provar que A é também autoadjunto no novo produto interno se, e somente se, A B=B A.

Passo 2

Precisamos checar três propriedades para [u,v]=⟨B u,v⟩ ser produto interno: simetria, linearidade e positividade definida. Vamos usar que B é positivo, o que implica B=B^* e ⟨B u,u⟩>0 para uneq0.

Passo 3

Mostrando simetria: como B é autoadjunto no produto original, vale ⟨B u,v⟩=⟨u,B v⟩. Portanto
[u,v]=⟨B u,v⟩=⟨u,B v⟩=[v,u],
o que garante a simetria do novo produto interno.

Passo 4

Verificando linearidade: o produto original é bilinear (linear em cada argumento, em espc. no 1.º se for real). Logo, para escalares e vetores , temos
A linearidade na segunda entrada segue da simetria e da linearidade já mostrada.

Passo 5

Mostrando positividade definida: para uneq0, como B é positivo,
[u,u]=⟨B u,u⟩>0
Assim, [u,v] satisfaz todas as condições de um produto interno.

Resposta

Agora, para a segunda parte, A é autoadjunto no novo produto interno se, e somente se, para todos u,v,

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