Dados os conjuntos \mathbf{R}_{1}=\{1,2,3\}, \mathbf{R}_{2}=\{3,-1\} e \mathbf{R}_{3}=\{0,1\}, calcular \mathbf{R}_{1} \times \mathbf{R}_{2} \times \mathbf{R}_{3} e fazer o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede o produto cartesiano das três listas finitas
\mathbf{R}_{1}=\{1,2,3\}, \mathbf{R}_{2}=\{3,-1\} e \mathbf{R}_{3}=\{0,1\}, e em seguida a representação gráfica desse conjunto no espaço \mathbb{R}^{3}. O conteúdo usado é a definição de produto cartesiano e a ideia de visualizar pontos discretos em três dimensões.

Passo 2

Pela definição,
\mathbf{R}_{1}\times\mathbf{R}_{2}\times\mathbf{R}_{3} =\{(x,y,z)\mid x\in\mathbf{R}_{1},\,y\in\mathbf{R}_{2},\,z\in\mathbf{R}_{3}\}.
Como \mathbf{R}_{1} tem 3 elementos, \mathbf{R}_{2} tem 2 e \mathbf{R}_{3} tem 2, o total de elementos será 3\times2\times2=12.

Passo 3

Listando todos os triples, obtemos
\mathbf{R}_{1}\times\mathbf{R}_{2}\times\mathbf{R}_{3} =\{(1,3,0), (1,3,1), (1,-1,0), (1,-1,1), (2,3,0), (2,3,1), (2,-1,0), (2,-1,1), (3,3,0), (3,3,1), (3,-1,0), (3,-1,1)\}.

Passo 4

Para graficar, imagine o sistema de eixos (x,y,z). Os 12 pontos dividem-se em duas “camadas”:
  • camada z=0 com os 6 pontos (1,3,0),(1,-1,0),(2,3,0),(2,-1,0),(3,3,0),(3,-1,0),
  • camada z=1 com os 6 pontos (1,3,1),(1,-1,1),(2,3,1),(2,-1,1),(3,3,1),(3,-1,1).
    Em cada camada eles formam um gradeado 3\times 2 nos valores x\in\{1,2,3\} e y\in\{3,-1\}.

Resposta

\mathbf{R}_{1}\times\mathbf{R}_{2}\times\mathbf{R}_{3} =\{(1,3,0),(1,3,1),(1,-1,0),(1,-1,1),(2,3,0),(2,3,1),(2,-1,0),(2,-1,1),(3,3,0),(3,3,1),(3,-1,0),(3,-1,1)\}.
O gráfico é um conjunto de 12 pontos em \mathbb{R}^{3}, dispostos em duas camadas paralelas z=0 e z=1, cada uma formando um reticulado 3\times 2 nos eixos x (valores 1,2,3) e y (valores 3, -1).

Exercícios de Livros Relacionados