Dados A(0,0), B(10,0), C(6,4) e D(2,4), pede-se
a) determinar o ponto de intersecção P das retas A D e B C
b) determinar os pontos médios M e N dos segmentos A B e C D, respectivamente
c) provar que M, N e P são colineares

Passo 1

Temos os pontos A(0,0), B(10,0), C(6,4) e D(2,4). O que se pede é (a) o ponto P de interseção das retas AD e BC, (b) os pontos médios M de AB e N de CD, e (c) mostrar que M, N e P são colineares. Vamos usar geometria analítica: equações de reta, fórmula de ponto médio e verificação de colinearidade por coeficientes angulares.

Passo 2

Para achar P, encontramos as equações de reta:
A reta AD passa por A(0,0) e D(2,4), com coeficiente angular
mAD=4-02-0=2,
logo sua equação é
y=2x
A reta BC passa por B(10,0) e C(6,4), com coeficiente angular
mBC=4-06-10=-1,
e como passa por B, sua equação é
y=-x+10
Igualando 2x=-x+10 obtemos 3x=10, então
x=103, y=2cdot103=203
Logo
Pl(tfrac103,tfrac203r)

Passo 3

O ponto médio M de AB e N de CD vêm da fórmula
Ml(tfracxA+xB2,tfracyA+yB2r), Nl(tfracxC+xD2,tfracyC+yD2r)
Substituindo,
Ml(tfrac0+102,tfrac0+02r)=(5,0), Nl(tfrac6+22,tfrac4+42r)=(4,4)

Passo 4

Para provar que M, P e N são colineares, basta mostrar que o coeficiente angular de MP é igual ao de MN. Calculamos
mMP =tfrac203-0tfrac103-5 =tfrac203tfrac10-153 =tfrac203-tfrac53 =-4,
e
mMN =4-04-5 =4-1 =-4
Como mMP=mMN, os três pontos estão na mesma reta.

Resposta

Pl(tfrac103,tfrac203r), \quad
M(5,0), \quad
N(4,4), \quad
e M, N, P são colineares.

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