Dados
e
, pede-se
a) determinar o ponto de intersecção
das retas
e
b) determinar os pontos médios
e
dos segmentos
e
, respectivamente
c) provar que
e P são colineares
a) determinar o ponto de intersecção
b) determinar os pontos médios
c) provar que
Passo 1
Temos os pontos
,
,
e
. O que se pede é (a) o ponto
de interseção das retas
e
, (b) os pontos médios
de
e
de
, e (c) mostrar que
,
e
são colineares. Vamos usar geometria analítica: equações de reta, fórmula de ponto médio e verificação de colinearidade por coeficientes angulares.
Passo 2
Para achar
, encontramos as equações de reta:
A reta passa por
e
, com coeficiente angular
A reta
logo sua equação é
A reta
passa por
e
, com coeficiente angular
e como passa por
, sua equação é
Igualando
obtemos
, então
Logo
Passo 3
O ponto médio
de
e
de
vêm da fórmula
Substituindo,
Passo 4
Para provar que
,
e
são colineares, basta mostrar que o coeficiente angular de
é igual ao de
. Calculamos
e
Como
, os três pontos estão na mesma reta.
Resposta
e M, N, P são colineares.