Dados A(3,0), B(5,0), C(0,5) e D(-1,2), determinar o ponto de intersecção das diagonais A C e B D do quadrilátero A B C D.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A(3,0), B(5,0), C(0,5) e D(-1,2) de um quadrilátero ABCD e pede o ponto de intersecção das diagonais AC e BD. O conteúdo é intersecção de duas retas no plano, que faremos por parametrização e solução de sistema.

Passo 2

Parametrizamos a reta AC. O vetor diretor é
C - A = (0,5) - (3,0) = (-3,5)
Logo, um ponto genérico em AC é
(x,y) = (3,0) + t,(-3,5) = (3 - 3t,;5t)

Passo 3

Parametrizamos a reta BD. O vetor diretor é
D - B = (-1,2) - (5,0) = (-6,2)
Então um ponto genérico em BD é
(x,y) = (5,0) + s,(-6,2) = (5 - 6s,;2s)

Passo 4

No ponto de intersecção, as duas parametrizações coincidem. Igualando as y-coordenadas,
5t = 2s Longrightarrow s = 52,t
Igualando as x-coordenadas,
3 - 3t = 5 - 6s
Substituindo s = tfrac52t
3 - 3t = 5 - 6cdot52t = 5 - 15t Longrightarrow 12t = 2 Longrightarrow t = 16

Passo 5

Substituímos t = tfrac16 na parametrização de AC:
x = 3 - 3cdot16 = 52, y = 5cdot16 = 56

Resposta

O ponto de intersecção das diagonais é l(tfrac52,,tfrac56r).

Exercícios de Livros Relacionados