Dados os pontos A=(2,5,-1), B=(-2,1,4) e C=(0,-6,4), ache os pontos P tais que:
A P=-5 B P.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A = (2,5,-1),\quad B = (-2,1,4),\quad C=(0,-6,4),
mas só A e B entram na condição \overrightarrow{AP} = -5\,\overrightarrow{BP}. Vamos usar álgebra vetorial para encontrar P.

Passo 2

Escrevendo em termos de coordenadas vetoriais,
\overrightarrow{AP} = \vec{P}-\vec{A} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{BP} = \vec{P}-\vec{B},
a condição é
\vec{P}-\vec{A} \;=\;-5\bigl(\vec{P}-\vec{B}\bigr).

Passo 3

Colocando \vec{P}=(x,y,z), obtemos o sistema
\begin{cases} x - 2 = -5\,(x + 2),\\\ y - 5 = -5\,(y - 1),\\\ z + 1 = -5\,(z - 4). \end{cases}

Passo 4

Resolvendo cada equação:
x - 2 = -5x - 10 \;\implies\; 6x = -8 \;\implies\; x = -\tfrac{4}{3},
y - 5 = -5y + 5 \;\implies\; 6y = 10 \;\implies\; y = \tfrac{5}{3},
z + 1 = -5z + 20 \;\implies\; 6z = 19 \;\implies\; z = \tfrac{19}{6}.

Resposta

P = \Bigl(-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3},\,\tfrac{19}{6}\Bigr).

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