Q 1.3. Represente P, Q, \overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}, P+Q,-P,-Q, P-Q, 2 P e \frac{1}{2} P se
P=(0,0,1) e Q=(2,3,-1).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, P=(0,0,1) e Q=(2,3,-1), e pede para representar os próprios pontos e as operações vetoriais de soma, diferença, inverso e múltiplos escalares.

Passo 2

Os pontos são simplesmente
P = (0,0,1), \qquad Q = (2,3,-1).

Passo 3

O vetor \overrightarrow{PQ} é Q - P. Calculando coordenada a coordenada:
\overrightarrow{PQ} = (2,3,-1) - (0,0,1) = (2,3,-2).
De modo análogo,
\overrightarrow{QP} = P - Q = (0,0,1) - (2,3,-1) = (-2,-3,2).

Passo 4

A soma e a diferença de P e Q são
P + Q = (0+2,\;0+3,\;1+(-1)) = (2,3,0),
P - Q = (0-2,\;0-3,\;1-(-1)) = (-2,-3,2).

Passo 5

Os vetores inversos são
-\,P = -(0,0,1) = (0,0,-1), \qquad -\,Q = -(2,3,-1) = (-2,-3,1).

Passo 6

Os múltiplos escalares de P valem
2P = 2\,(0,0,1) = (0,0,2), \qquad \tfrac12 P = \tfrac12\,(0,0,1) = (0,0,\tfrac12).

Resposta

P=(0,0,1)
Q=(2,3,-1)
\overrightarrow{PQ}=(2,3,-2)
\overrightarrow{QP}=(-2,-3,2)
P+Q=(2,3,0)
-P=(0,0,-1)
-Q=(-2,-3,1)
P-Q=(-2,-3,2)
2P=(0,0,2)
\tfrac12P=(0,0,\tfrac12)

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