Dados os vetores: vec{u}=(1,-1,1) ; \vec{v}=(3,1,3) e vec{w}=(3,5,-9), calcular:
\vec{u} \wedge \vec{w}

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial (ou “wedge”) de \vec{u} e \vec{w}. Isso gera um vetor em \mathbb{R}^3 perpendicular a ambos. Note que o vetor \vec{v} não é necessário aqui.

Passo 2

O produto vetorial de
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é dado por
\vec{u}\wedge\vec{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ u_1 & u_2 & u_3\\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} =(u_2w_3-u_3w_2)\,\mathbf{i}-(u_1w_3-u_3w_1)\,\mathbf{j}+(u_1w_2-u_2w_1)\,\mathbf{k}.

Passo 3

Aqui \vec{u}=(1,-1,1) e \vec{w}=(3,5,-9). Substituindo:
\vec{u}\wedge\vec{w} =(\,(-1)\cdot(-9)-1\cdot5\,)\,\mathbf{i} -(\,1\cdot(-9)-1\cdot3\,)\,\mathbf{j} +(\,1\cdot5-(-1)\cdot3\,)\,\mathbf{k}.
Fazendo as contas:
(-1)\cdot(-9)-5=9-5=4,\quad 1\cdot(-9)-3=-9-3=-12,\quad 1\cdot5-(-1)\cdot3=5+3=8.
Então
\vec{u}\wedge\vec{w} =4\,\mathbf{i}-(-12)\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k} =4\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}.

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{w}=(4,12,8)

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