Dados os vetores: vec{u}=(1,-1,1) ; \vec{v}=(3,1,3) e vec{w}=(3,5,-9), calcular:
\vec{u} \wedge(\vec{w} \wedge \vec{v})

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(1,-1,1), \vec{v}=(3,1,3) e \vec{w}=(3,5,-9) e pede \vec{u}\wedge(\vec{w}\wedge\vec{v}). O conteúdo envolve produto vetorial e a identidade do triplo produto vetorial.

Passo 2

Lembramos da identidade do triplo produto vetorial:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).

Passo 3

No nosso caso, \mathbf{a}=\vec{u}, \mathbf{b}=\vec{w} e \mathbf{c}=\vec{v}. Calculamos os produtos escalares:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot3+(-1)\cdot1+1\cdot3=5 e
\vec{u}\cdot\vec{w}=1\cdot3+(-1)\cdot5+1\cdot(-9)=-11.

Passo 4

Pela identidade, temos:
\vec{u}\times(\vec{w}\times\vec{v}) =\vec{w}\,(\vec{u}\cdot\vec{v})-\vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w}) =5\vec{w}-(-11)\vec{v} =5\vec{w}+11\vec{v}.

Passo 5

Substituindo \vec{w}=(3,5,-9) e \vec{v}=(3,1,3) obtemos:
5\vec{w}=(15,25,-45), \quad 11\vec{v}=(33,11,33),
e a soma é
(15,25,-45)+(33,11,33)=(48,36,-12).

Resposta

(48,36,-12)

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