Dar as equações das circunferências de raio r e tangentes aos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede as equações das circunferências de raio r que são tangentes aos eixos x e y. O conteúdo aqui é geometria analítica de círculos e a ideia de tangência a uma reta, que se traduz na distância do centro à reta igual ao raio.

Passo 2

A equação geral de uma circunferência de centro (h,k) e raio r é
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Passo 3

Para que essa circunferência seja tangente ao eixo x precisamos que a distância do centro (h,k) ao eixo x seja r. Como a distância de (h,k) ao eixo x é lvert krvert, temos
lvert krvert = r
De modo análogo, a tangência ao eixo y exige
lvert hrvert = r

Passo 4

As condições lvert hrvert = r e lvert krvert = r implicam que as únicas posições possíveis para o centro são
(h,k)in(r,r),,(r,-r),,(-r,r),,(-r,-r)

Passo 5

Bast a substituir cada par (h,k) na equação geral:
para (h,k)=(r,r):
(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2,
para (h,k)=(r,-r):
(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2,
para (h,k)=(-r,r):
(x + r)^2 + (y - r)^2 = r^2,
para (h,k)=(-r,-r):
(x + r)^2 + (y + r)^2 = r^2

Resposta

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2,
(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2,
(x + r)^2 + (y - r)^2 = r^2,
(x + r)^2 + (y + r)^2 = r^2

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