Demonstre cada um dos seguintes enunciados:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para os polinômios de Hermite definidos por
vale
O método mais direto usa a função geratriz dos polinômios de Hermite.
Passo 2
Lembramos que a função geratriz dos
é dada por
Passo 3
Vamos diferenciar
em relação a
. No lado esquerdo,
No lado direito, usando
, obtemos
Passo 4
Escrevemos agora
onde trocamos
. Reescrevendo em termos de fator
,
Passo 5
Igualando as duas expansões em potências de
, ou seja, comparando
vemos que, para todo
,
Para
, a igualdade é trivial (
).
Resposta
A demonstração pelo método da função geratriz leva diretamente à relação