Seja p0, p1, ldots uma sequência de polinômios ortogonais e seja an o primeiro coeficiente de pn. Demonstre que
|pn|^2=anlang<= x^n, pnrang<=

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de polinômios ortogonais pnn>=0, onde cada pn tem grau n e coeficiente líder an, e pede para mostrar que
|pn|^2 ;=; an ,llang<= x^n,pnrrang<=
O que vamos usar é o fato de que p0,dots,pn forma uma base de todos os polinômios de grau <= n, e a ortogonalidade lang<= pk,pnrang<==0 para k<n.

Passo 2

Como p0,dots,pn é base de Pn, existe uma expansão
x^n ;=;sumk=0^n dk,pk,
para certos escalares d0,dots,dn.

Passo 3

Tomando o produto interno com pn, obtemos
llang<= x^n,pnrrang<= =sumk=0^n dk,lang<= pk,pnrang<=
Pela ortogonalidade, lang<= pk,pnrang<==0 para todo k<n, restando apenas
llang<= x^n,pnrrang<= = dn,lang<= pn,pnrang<= = dn,|pn|^2

Passo 4

Para achar dn, compare o coeficiente de x^n em cada lado de
x^n=sumk=0^n dk,pk
Como pk tem termo líder ak,x^k, o único termo x^n vem de k=n, dando
1 = dn,an Longrightarrow dn=1an

Passo 5

Substituindo dn=tfrac1an em lang<= x^n,pnrang<= = dn,|pn|^2, segue
llang<= x^n,pnrrang<= =1an,|pn|^2 Longrightarrow |pn|^2 = an,llang<= x^n,pnrrang<=

Resposta

|pn|^2 = an,llang<= x^n,pnrrang<=

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