Seja
uma sequência de polinômios ortogonais e seja
o primeiro coeficiente de
. Demonstre que
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de polinômios ortogonais
, onde cada
tem grau
e coeficiente líder
, e pede para mostrar que
O que vamos usar é o fato de que
forma uma base de todos os polinômios de grau
, e a ortogonalidade
para
.
Passo 2
Como
é base de
, existe uma expansão
para certos escalares
.
Passo 3
Tomando o produto interno com
, obtemos
Pela ortogonalidade,
para todo
, restando apenas
Passo 4
Para achar
, compare o coeficiente de
em cada lado de
Como
tem termo líder
, o único termo
vem de
, dando
Passo 5
Substituindo
em
, segue