Seja Tn(x) o polinômio de Chebyshev de grau n e defina-se
Un-1(x)=1n Tn^prime(x)
para n=1,2, ldots
(a) Calcule U0(x), U1(x) e U2(x).
(b) Mostre que se x=cos theta, então
Un-1(x)=sen n thetasen theta

Passo 1

O enunciado define o polinômio de Chebyshev Tn(x) de grau n e introduz
Un-1(x)=1nTn'(x),
para n=1,2,dots. No item (a) precisamos encontrar explicitamente U0(x), U1(x) e U2(x). No item (b) devemos provar que, se x=costheta, então
Un-1(x)=sin(ntheta)sintheta

Passo 2

Para fazer (a) usamos as fórmulas conhecidas de Tn:
T1(x)=x, T2(x)=2x^2-1, T3(x)=4x^3-3x
Derivando e aplicando Un-1(x)=tfrac1nTn'(x) obtemos:
– Para n=1: T1'(x)=1, logo
U0(x)=11cdot1=1
– Para n=2: T2'(x)=4x, logo
U1(x)=12cdot4x=2x
– Para n=3: T3'(x)=12x^2-3, logo
U2(x)=13l(12x^2-3r)=4x^2-1

Passo 3

Para (b) lembramos que, tomando x=costheta, temos a representação trigonométrica
Tn(x)=cosl(nthetar)
Diferenciando em relação a x:
Tn'(x) =ddxcos(ntheta) =-,nsin(ntheta),dthetadx
Como x=costheta implica tfracdxdtheta=-sintheta, temos tfracdthetadx=-tfrac1sintheta. Substituindo:
Tn'(x) =-,nsin(ntheta),l(-1sinthetar) =n,sin(ntheta)sintheta
Finalmente
Un-1(x)=1nTn'(x) =sin(ntheta)sintheta,
como era para mostrar.

Resposta

U0(x)=1
U1(x)=2x
U2(x)=4x^2-1
E, em geral, para x=costheta,
Un-1(x)=sin(ntheta)sintheta

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