Seja
o polinômio de Chebyshev de grau
e defina-se
para
(a) Calcule
e
.
(b) Mostre que se
, então
(a) Calcule
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define o polinômio de Chebyshev
de grau
e introduz
para
. No item (a) precisamos encontrar explicitamente
,
e
. No item (b) devemos provar que, se
, então
Passo 2
Para fazer (a) usamos as fórmulas conhecidas de
:
Derivando e aplicando
obtemos:
– Para :
, logo
– Para
– Para
:
, logo
– Para
:
, logo
Passo 3
Para (b) lembramos que, tomando
, temos a representação trigonométrica
Diferenciando em relação a
:
Como
implica
, temos
. Substituindo:
Finalmente
como era para mostrar.
Resposta
E, em geral, para
,