Descreva todas as formas escalonadas possíveis de uma matriz não nula 2 \times 2. Use os símbolos ■, * e 0 como na primeira parte do Exemplo 1 .
Passo 1
O enunciado pede para descrever todas as formas escalonadas (row-echelon forms) possíveis de uma matriz não nula de tamanho 2\times2. Para isso precisamos usar a noção de posto (rank) de uma matriz e as condições de escalonamento:
cada linha não nula começa com um pivô (um elemento não zero),
pivôs de linhas sucessivas ficam mais à direita,
toda linha nula fica abaixo de linhas não nulas.
Passo 2
Uma matriz 2\times2 não nula pode ter posto \rank=2 ou \rank=1.
Se \rank=2, haverá dois pivôs (um em cada linha).
Se \rank=1, haverá exatamente um pivô (na primeira linha) e a segunda linha será toda zero.
Passo 3
Caso \rank=2: o primeiro pivô fica em posição (1,1) e o segundo em (2,2). A forma escalonada geral é
\begin{pmatrix} ■ & *\\\\ 0 & ■ \end{pmatrix}
onde “■” indica um pivô (não zero), “*” é um elemento qualquer e os zeros são forçados pelo escalonamento.
Passo 4
Caso \rank=1: há um único pivô na primeira linha e a segunda é toda zero. Esse pivô pode estar na coluna 1 ou na coluna 2, dando duas formas: