Descreva todas as formas escalonadas possíveis de uma matriz não nula 2 \times 2. Use os símbolos ■, * e 0 como na primeira parte do Exemplo 1 .

Passo 1

O enunciado pede para descrever todas as formas escalonadas (row-echelon forms) possíveis de uma matriz não nula de tamanho 2\times2. Para isso precisamos usar a noção de posto (rank) de uma matriz e as condições de escalonamento:
  1. cada linha não nula começa com um pivô (um elemento não zero),
  2. pivôs de linhas sucessivas ficam mais à direita,
  3. toda linha nula fica abaixo de linhas não nulas.

Passo 2

Uma matriz 2\times2 não nula pode ter posto \rank=2 ou \rank=1.
  • Se \rank=2, haverá dois pivôs (um em cada linha).
  • Se \rank=1, haverá exatamente um pivô (na primeira linha) e a segunda linha será toda zero.

Passo 3

Caso \rank=2: o primeiro pivô fica em posição (1,1) e o segundo em (2,2). A forma escalonada geral é
\begin{pmatrix} ■ & *\\\\ 0 & ■ \end{pmatrix}
onde “■” indica um pivô (não zero), “*” é um elemento qualquer e os zeros são forçados pelo escalonamento.

Passo 4

Caso \rank=1: há um único pivô na primeira linha e a segunda é toda zero. Esse pivô pode estar na coluna 1 ou na coluna 2, dando duas formas:
\begin{pmatrix} ■ & *\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & ■\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

As três formas escalonadas possíveis de uma matriz não nula 2\times2 são:
\begin{pmatrix} ■ & *\\\\ 0 & ■ \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} ■ & *\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & ■\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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