Determine quais matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para classificar se ela está em forma escalonada (REF) ou em forma escalonada reduzida (RREF). Vamos lembrar os requisitos de cada forma e depois verificar um a um.

Passo 2

Condições para forma escalonada (REF):
  1. Todas as linhas nulas (caso existam) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (pivot) é igual a \!1.
  3. Cada pivot aparece à direita do pivot da linha imediatamente acima.
  4. Em cada coluna de um pivot, todos os elementos abaixo dele são zero.

Passo 3

Verificação de REF em A:
  • Não há linhas nulas, logo (1) está OK.
  • Os primeiros não nulos de cada linha são 1 nas colunas 1, 2 e 4, atendendo (2).
  • Esses pivots aparecem nas colunas 1, 2 e 4, movendo-se estritamente para a direita linha a linha, atendendo (3).
  • Abaixo de cada pivot todos os elementos são zero, atendendo (4).
    Portanto, A está em forma escalonada.

Passo 4

Condições adicionais para forma escalonada reduzida (RREF):
5. Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).
6. As linhas com pivot estão normalizadas com o pivot igual a 1 (já coberto) e livres de quaisquer múltiplos em sua coluna.

Passo 5

Verificação de RREF em A:
  • Na coluna 1 o único elemento não nulo é o pivot em A_{11}=1.
  • Na coluna 2 o único elemento não nulo é o pivot em A_{22}=1.
  • Na coluna 4 o único elemento não nulo é o pivot em A_{34}=1.
    Ou seja, cada pivot tem zeros acima e abaixo, satisfazendo (5) e (6).
    Logo, A também está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz dada está em forma escalonada reduzida (logo, também em forma escalonada).

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