Descrever e fazer o gráfico dos conjuntos:
E_{1}=\{(x, y, z) \mid x \in \mathbf{R}, y=0 e z \in \mathbf{R}\}

Passo 1

O enunciado define
E_{1} = \{(x,y,z)\mid x\in\mathbf{R},\;y=0,\;z\in\mathbf{R}\}.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbf{R}^3: reconhecer que a condição y=0 descreve um plano. Para resolver, vamos identificar qual plano é esse e como representá-lo parametricamente e graficá-lo.

Passo 2

Como x e z são livres e y está fixo em zero, qualquer ponto de E_{1} pode ser escrito em forma paramétrica com parâmetros s,t\in\mathbf{R}:
\mathbf{r}(s,t) = (s,\,0,\,t).
Isso mostra que E_{1} é exatamente o plano dos eixos x e z, também chamado de plano xz, cuja equação cartesiana é
y = 0.

Passo 3

Para fazer o gráfico de E_{1}, pense num sistema de coordenadas tridimensional onde:
  • O eixo x aponta para a direita.
  • O eixo y aponta para dentro ou para fora da página.
  • O eixo z aponta para cima.
O plano y=0 é o “chão” formado pela combinação de todos os pontos dos eixos x e z. Graficamente, desenha-se como uma folha infinita passando pelos eixos x e z, perpendicular ao eixo y.

Resposta

E_{1} é o plano xz em \mathbf{R}^3, dado por
E_{1} = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbf{R}\},
e seu gráfico é o plano de equação y=0, ou seja, a “superfície” formada pelos eixos x e z.

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