Determinar o centro e o raio das circunferências
9 x^2+9 y^2-6 x+12 y-11 = 0

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
9x^2+9y^2-6x+12y-11=0
e pede o centro e o raio. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados a partir da forma geral
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por 9 para deixar os coeficientes de x^2 e y^2 iguais a 1:
x^2+y^2-69x+129y-119=0
que simplifica para
x^2+y^2-23x+43y-119=0

Passo 3

Agora separamos os termos em x e completamos o quadrado:
x^2-23x = l(x-tfrac13r)^2-l(tfrac13r)^2 = l(x-tfrac13r)^2-tfrac19

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos em y:
y^2+43y = l(y+tfrac23r)^2-l(tfrac23r)^2 = l(y+tfrac23r)^2-tfrac49

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação e somando as constantes, temos
l(x-tfrac13r)^2-tfrac19 +l(y+tfrac23r)^2-tfrac49 -tfrac119=0
As constantes somam
-tfrac19-tfrac49-tfrac119=-tfrac169,
então
l(x-tfrac13r)^2+l(y+tfrac23r)^2 =tfrac169
Isso mostra que a circunferência tem centro l(tfrac13,-tfrac23r) e raio raiztfrac169=tfrac43

Resposta

Centro: l(tfrac13,-tfrac23r)
Raio: tfrac43

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