Determine quais dos conjuntos abaixo são subanéis:
c) e T=(ll0 & 0 c & d) rvert, c, d in R do anel M2(R);
Passo 1
O enunciado define dois subconjuntos de M2(R):
S = a & 0 b & 0mid a,binR, T = 0 & 0 c & dmid c,dinR
Para ver se cada um é subanel de M2(R), precisamos verificar que é não-vazio, fechado sob soma e inverso aditivo (ou subgrupo aditivo) e fechado sob multiplicação.
Passo 2
Verificação para S:
Não-vazio: a matriz zero 0&00&0 está em S.
Fechamento aditivo e inverso:
Se A1=a1&0 b1&0 e A2=a2&0 b2&0,
então A1 + A2 = a1+a2 & 0 b1+b2 & 0 e -A1 = -a1 & 0 -b1 & 0, ambas em S.
Fechamento multiplicativo: A1 A2 = a1&0 b1&0 a2&0 b2&0 = a1a2 & 0 b1a2 & 0, que é da forma exigida, logo está em S.
Passo 3
Conclusão para S: como S contém o zero, é subgrupo aditivo e é fechado sob produto, S é subanel de M2(R).
Passo 4
Verificação para T:
Não-vazio: a matriz zero 0&00&0 está em T.
Fechamento aditivo e inverso:
Se B1=0&0 c1&d1 e B2=0&0 c2&d2,
então B1 + B2 = 0&0 c1+c2& d1+d2 e -B1 = 0&0 -c1& -d1, ambas em T.
Fechamento multiplicativo: B1 B2 = 0&0 c1&d1 0&0 c2&d2 = 0&0 d1c2 & d1d2, que tem a forma l[!0;0;,ast;astr], logo está em T.
Passo 5
Conclusão para T: T também satisfaz as condições de subanel de M2(R).
Resposta
Ambos os conjuntos S e T são subanéis de M2(R).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi - 5ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 7 (2).c