Determine quais dos conjuntos abaixo são subanéis:
c) S=(lla & 0 b & 0) rvert, a, b in R e T=(ll0 & 0 c & d) rvert, c, d in R do anel M2(R);

Passo 1

O enunciado define dois subconjuntos de M2(R):
S = a & 0 b & 0mid a,binR, T = 0 & 0 c & dmid c,dinR
Para ver se cada um é subanel de M2(R), precisamos verificar que é não-vazio, fechado sob soma e inverso aditivo (ou subgrupo aditivo) e fechado sob multiplicação.

Passo 2

Verificação para S:
  1. Não-vazio: a matriz zero 0&00&0 está em S.
  2. Fechamento aditivo e inverso:
    Se
    A1=a1&0 b1&0 e
    A2=a2&0 b2&0,
    então A1 + A2 = a1+a2 & 0 b1+b2 & 0 e -A1 = -a1 & 0 -b1 & 0, ambas em S.
  3. Fechamento multiplicativo: A1 A2 = a1&0 b1&0 a2&0 b2&0 = a1a2 & 0 b1a2 & 0, que é da forma exigida, logo está em S.

Passo 3

Conclusão para S: como S contém o zero, é subgrupo aditivo e é fechado sob produto, S é subanel de M2(R).

Passo 4

Verificação para T:
  1. Não-vazio: a matriz zero 0&00&0 está em T.
  2. Fechamento aditivo e inverso:
    Se
    B1=0&0 c1&d1 e
    B2=0&0 c2&d2,
    então B1 + B2 = 0&0 c1+c2& d1+d2 e -B1 = 0&0 -c1& -d1, ambas em T.
  3. Fechamento multiplicativo: B1 B2 = 0&0 c1&d1 0&0 c2&d2 = 0&0 d1c2 & d1d2, que tem a forma l[!0;0;,ast;astr], logo está em T.

Passo 5

Conclusão para T: T também satisfaz as condições de subanel de M2(R).

Resposta

Ambos os conjuntos S e T são subanéis de M2(R).

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