Determine f’(x) para f(x) dada.
10 \frac{\operatorname{coth} x}{\cot x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 10\,\frac{\coth x}{\cot x}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções trigonométricas e hiperbólicas, usando regra do quociente ou, mais simples, reescrever como produto e aplicar a regra do produto junto com as derivadas de \tan x e \coth x.

Passo 2

Reescrevemos a função para usar regra do produto em vez de quociente. Como \cot x = 1/\tan x, temos
f(x) = 10\,\coth x\;\frac{1}{\cot x} = 10\,\coth x\;\tan x = 10\,\tan x\,\coth x.

Passo 3

Lembrando as derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\coth x\bigr)=-\csch^2 x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto em f(x)=10\,[\tan x\cdot\coth x], obtemos
f'(x) =10\bigl[(\tan x)'\,\coth x + \tan x\,(\coth x)'\bigr] =10\bigl[\operatorname{sec}^2 x\,\coth x + \tan x\,(-\csch^2 x)\bigr].

Passo 5

Organizando o sinal, fica
f'(x) =10\bigl(\operatorname{sec}^2 x\,\coth x \;-\;\tan x\,\csch^2 x\bigr).

Resposta

f'(x)=10\bigl(\operatorname{sec}^2 x\,\coth x - \tan x\,\csch^2 x\bigr).

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