Determine f’(x) para f(x) dada.
11 \frac{\operatorname{sech}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 11\,\frac{\operatorname{sech}\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}+1}.
O conteúdo principal aqui é derivação de função composta (regra da cadeia) e produto/quociente de funções, além de lembrar que \operatorname{sech}(z) tem derivada -\operatorname{sech}(z)\operatorname{tanh}(z).

Passo 2

É conveniente reescrever
f(x)=11\;\operatorname{sech}(x^{2})\;(x^{2}+1)^{-1}.
Definimos
u(x)=\operatorname{sech}(x^{2}),\quad v(x)=(x^{2}+1)^{-1},
de modo que f(x)=11\,u(x)\,v(x).

Passo 3

Derivamos u(x) usando regra da cadeia e \frac{d}{dz}\operatorname{sech}(z)=-\operatorname{sech}(z)\operatorname{tanh}(z):
u'(x) =\bigl[\operatorname{sech}(x^{2})\bigr]' =-\operatorname{sech}(x^{2})\,\operatorname{tanh}(x^{2})\cdot 2x =-2x\,\operatorname{sech}(x^{2})\,\operatorname{tanh}(x^{2}).

Passo 4

Derivamos v(x)=(x^{2}+1)^{-1} com a regra do poder e cadeia:
v'(x) =-1\,(x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x =-2x\,(x^{2}+1)^{-2}.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto em f(x)=11\,u(x)\,v(x):
f'(x) =11\bigl[u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\bigr].

Passo 6

Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =11\Bigl[ (-2x\,\operatorname{sech}(x^{2})\,\operatorname{tanh}(x^{2}))\,(x^{2}+1)^{-1} +\operatorname{sech}(x^{2})\,(-2x)\,(x^{2}+1)^{-2} \Bigr].
Fatorando -2x\,\operatorname{sech}(x^{2})\,(x^{2}+1)^{-2}:
f'(x) =-22x\,\frac{\operatorname{sech}(x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}} \Bigl[(x^{2}+1)\,\operatorname{tanh}(x^{2})+1\Bigr].

Resposta

f'(x) =-22\,x\;\frac{\operatorname{sech}(x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}} \bigl[(x^{2}+1)\,\operatorname{tanh}(x^{2})+1\bigr].

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