Determine f’(x) para f(x) dada.
7 \sqrt{x} \operatorname{tgh} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=7\sqrt{x}\,\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia. Vamos precisar de:
  • (\sqrt{x})'=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • \bigl(\operatorname{tanh}(u)\bigr)'=\sech^2(u)\,u'.

Passo 2

Escrevendo f(x)=7\,g(x)\,h(x) com
g(x)=\sqrt{x}, \quad h(x)=\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{x}\bigr),
pela regra do produto temos
f'(x)=7\bigl(g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x)\bigr).

Passo 3

Calculemos cada derivada:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
e para h(x)=\operatorname{tanh}(u) com u=\sqrt{x}, aplicando cadeia:
h'(x)=\sech^2\bigl(u\bigr)\,u' =\sech^2\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=7\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{x}\bigr) +\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\sech^2\bigl(\sqrt{x}\bigr)\Bigr).
Simplificando cada termo:
f'(x)=\frac{7}{2\sqrt{x}}\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{x}\bigr) +\frac{7}{2}\sech^2\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{7}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{x}\bigr) +\frac{7}{2}\;\sech^2\bigl(\sqrt{x}\bigr).

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