Determine f’(x) para f(x) dada.
9 \operatorname{coth} \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá f(x)=9\coth\bigl(\tfrac1x\bigr) e pede f'(x). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \coth(u).

Passo 2

Defina u=\tfrac1x. Então
f(x)=9\,\coth(u)
e, pela regra da cadeia,
f'(x)=9\;\frac{d}{du}\bigl[\coth(u)\bigr]\;\frac{du}{dx} =9\bigl[-\csch^2(u)\bigr]\;\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos \dfrac{du}{dx} para u=1/x:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1}\Bigr)=-x^{-2}=-\frac1{x^2}.
Substituindo em f'(x) vem
f'(x)=9\bigl[-\csch^2(1/x)\bigr]\bigl[-\tfrac1{x^2}\bigr].

Passo 4

Dois sinais negativos se cancelam, ficando
f'(x)=\frac{9}{x^2}\,\csch^2\!\bigl(\tfrac1x\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{9}{x^2}\,\csch^2\!\bigl(\tfrac1x\bigr).

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