Determine f’(x) para f(x) dada.
8 \operatorname{arctg} \operatorname{tgh} x

Passo 1

O enunciado dá
f(x) = 8\,\arctan\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)
e pede f'(x). Vamos usar regra da cadeia, conhecendo as derivadas de \arctan u e de \operatorname{tanh} x.

Passo 2

Identificamos a composição
f(x) = 8\,\arctan\bigl(u(x)\bigr) \quad\text{com}\quad u(x)=\operatorname{tanh} x.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =8\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u(x))\bigr] =8\cdot\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x = \sech^{2}x.
Logo,
u'(x)=\sech^{2}x.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =8\cdot\frac{\sech^{2}x}{1+\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x)=8\,\frac{\sech^{2}x}{1+\operatorname{tanh}^{2}x}.

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