Determine f’(x) para f(x) dada.
23 e^{3 x} \operatorname{sech} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 23\,e^{3x}\,\sech x.
Para resolver vamos usar:
– Regra da constante multiplicativa (fatorar o 23).
– Regra do produto para duas funções.
– Regra da cadeia para e^{3x}.
– Derivada de \sech x.

Passo 2

Separemos a constante e identifiquemos as duas funções do produto:
f(x) = 23\;\bigl(u(x)\,v(x)\bigr),
com
u(x) = e^{3x}, \quad v(x) = \sech x.
Então
f'(x) = 23\;\bigl(u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos u'(x) por regra da cadeia:
u(x)=e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad u'(x)=3\,e^{3x}.

Passo 4

Calculamos v'(x). Sabendo que \sech x = 1/\operatorname{cosh} x e que
\bigl(\sech x\bigr)' = -\sech x\,\operatorname{tanh} x,
temos
v'(x) = -\,\sech x\,\operatorname{tanh} x.

Passo 5

Substituímos u'(x) e v'(x) na expressão da regra do produto:
f'(x) = 23\bigl(3\,e^{3x}\,\sech x + e^{3x}\,(-\sech x\,\operatorname{tanh} x)\bigr).

Passo 6

Fatoramos e^{3x}\sech x dentro do colchete:
f'(x) = 23\,e^{3x}\,\sech x\;\bigl(3 - \operatorname{tanh} x\bigr).

Resposta

f'(x) = 23\,e^{3x}\,\sech x\,(3 - \operatorname{tanh} x).

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