Determine f’(x) para f(x) dada.
19 \frac{1}{\operatorname{tgh} x+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{19}{\operatorname{tanh} x + 1}
e pede f'(x).
O conteúdo aqui é derivação de função composta envolvendo a derivada de \operatorname{tanh} x, que é \sech^2 x, e a regra da cadeia (ou do quociente).

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
f(x)=19\,(g(x))^{-1}, \quad\text{onde}\quad g(x)=\operatorname{tanh} x + 1.
Sabemos que
g'(x)=(\operatorname{tanh} x)' + 0 = \sech^2 x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia a f(x)=19\,(g(x))^{-1}, temos
f'(x) =19\cdot(-1)\,(g(x))^{-2}\cdot g'(x) =-19\,\frac{\sech^2 x}{(\operatorname{tanh} x + 1)^2}.

Resposta

f'(x)=-19\,\frac{\sech^2 x}{(\operatorname{tanh} x + 1)^2}.

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