Determine f’(x) para f(x) dada.
20 \ln |\operatorname{tgh} x|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=20\ln\bigl|\operatorname{tgh}x\bigr|.
O conteúdo envolve regra da cadeia para \ln|u| e a derivada da função hiperbólica \tgh x. Lembrando que
\frac{d}{dx}\ln|u| = \frac{u'}{u}, \quad \frac{d}{dx}\tgh x = \frac{1}{\operatorname{cosh}^2 x}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia com u(x)=\tgh x, temos
f'(x) =20\cdot\frac{u'(x)}{u(x)} =20\cdot\frac{\frac{d}{dx}\tgh x}{\tgh x} =20\cdot\frac{\frac{1}{\operatorname{cosh}^2 x}}{\tgh x} =20\cdot\frac{1}{\tgh x\,\operatorname{cosh}^2 x}.

Passo 3

Para simplificar, use \tgh x=\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}. Então
\tgh x\,\operatorname{cosh}^2 x =\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\,\operatorname{cosh}^2 x =\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x,
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f'(x) =20\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x} =\frac{20}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x}.
Como \sinh2x=2\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x, segue
f'(x)=\frac{20}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x} =\frac{40}{\sinh2x}.

Resposta

f'(x)=\frac{20}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x} \quad\text{ou ainda}\quad f'(x)=\frac{40}{\sinh2x}.

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