Determine f’(x) para f(x) dada.
12 \sqrt{\operatorname{sech} 5 x}

Passo 1

O enunciado dá
f(x) = 12\sqrt{\sech(5x)}
e pede f'(x). Vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro para a raiz quadrada e depois para a função \sech.

Passo 2

Chamando
u(x)=\sech(5x),
temos f(x)=12\sqrt{u(x)}=12\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}. A derivada de \bigl(u(x)\bigr)^{1/2} é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{1/2} =\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\,u'(x).
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f'(x) =12\cdot\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\,u'(x) =\frac{12}{2\sqrt{\sech(5x)}}\,u'(x) =\frac{6}{\sqrt{\sech(5x)}}\,u'(x).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x) com u(x)=\sech(5x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\sech(v) =-\sech(v)\,\operatorname{tanh}(v)\,v',
aqui v=5x e v'=5. Portanto
u'(x) =\frac{d}{dx}\sech(5x) =-\sech(5x)\,\operatorname{tanh}(5x)\cdot5 =-5\,\sech(5x)\,\operatorname{tanh}(5x).

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x):
f'(x) =\frac{6}{\sqrt{\sech(5x)}}\;\bigl(-5\,\sech(5x)\,\operatorname{tanh}(5x)\bigr) =-30\,\frac{\sech(5x)}{\sqrt{\sech(5x)}}\,\operatorname{tanh}(5x).
Como \sech(5x)/\sqrt{\sech(5x)}=\sqrt{\sech(5x)}, fica
f'(x)=-30\,\sqrt{\sech(5x)}\,\operatorname{tanh}(5x).

Resposta

f'(x)=-30\,\sqrt{\sech(5x)}\,\operatorname{tanh}(5x).

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