Determine os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das-
dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda, em seguida ache os intervalos de concavidade e as abscissas dos pontos de inflexão, e por fim esboce o gráfico de
. Vamos usar derivada primeira para extremos e derivada segunda para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
Passo 3
Agora a derivada segunda:
Em
temos
logo mínimo local em
.
Em temos
Em
logo máximos locais em
Como
os máximos são
.
Passo 4
Para a concavidade e pontos de inflexão usamos
. A inequação
mostra que
é côncava para cima em
e côncava para baixo em .
Os pontos de inflexão ocorrem onde , ou seja em
. Nessas abscissas
e côncava para baixo em
Os pontos de inflexão ocorrem onde
logo os pontos de inflexão são
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico notamos que
é função par com zeros em
(multiplicidade 2) e em
. O comportamento é:
cresce de até o máximo em
, decresce até o mínimo em
, cresce de
até o máximo em
e então decai para
. Marcamos:
– extremos em e
,
– pontos de inflexão em ,
– zeros nos pontos .
cresce de
– extremos em
– pontos de inflexão em
– zeros nos pontos
Resposta
Mínimo local em
.
Máximos locais em .
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Pontos de inflexão em .
O gráfico é par, com zeros em , máximo em
e mínimo em
, conforme esboçado acima.
Máximos locais em
Pontos de inflexão em
O gráfico é par, com zeros em