Determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das- x dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de f.
f(x)=8 x^{2}-2 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine os extremos locais de
f(x)=8x^{2}-2x^{4}
usando o teste da derivada segunda, em seguida ache os intervalos de concavidade e as abscissas dos pontos de inflexão, e por fim esboce o gráfico de f. Vamos usar derivada primeira para extremos e derivada segunda para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}-2x^{4}\bigr) =16x-8x^{3} =8x\,(2-x^{2}).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja
8x\,(2-x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}=2\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{2}.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(16x-8x^{3}\bigr) =16-24x^{2}.
Em x=0 temos
f''(0)=16>0,
logo mínimo local em \bigl(0,f(0)\bigr)=(0,0).
Em x=\pm\sqrt{2} temos
f''(\pm\sqrt{2})=16-24\cdot2=-32<0,
logo máximos locais em
\bigl(\pm\sqrt{2},\,f(\pm\sqrt{2})\bigr).
Como
f(\pm\sqrt{2}) =8\cdot2-2\cdot4 =16-8 =8,
os máximos são \bigl(\pm\sqrt{2},8\bigr).

Passo 4

Para a concavidade e pontos de inflexão usamos f''(x). A inequação
f''(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 16-24x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<\tfrac{2}{3}
mostra que f é côncava para cima em \bigl(-\sqrt{\tfrac23},\;\sqrt{\tfrac23}\bigr)
e côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\sqrt{\tfrac23}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{\tfrac23},\infty\bigr).
Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0, ou seja em x=\pm\sqrt{\tfrac23}. Nessas abscissas
f\bigl(\pm\sqrt{\tfrac23}\bigr) =8\cdot\tfrac23-2\cdot\tfrac{4}{9} =\tfrac{16}{3}-\tfrac{8}{9} =\tfrac{40}{9},
logo os pontos de inflexão são \bigl(\pm\sqrt{\tfrac23},\tfrac{40}{9}\bigr).

Passo 5

Para esboçar o gráfico notamos que f é função par com zeros em x=0 (multiplicidade 2) e em x=\pm2. O comportamento é:
cresce de -\infty até o máximo em -\sqrt{2}, decresce até o mínimo em 0, cresce de 0 até o máximo em \sqrt{2} e então decai para -\infty. Marcamos:
– extremos em (0,0) e \bigl(\pm\sqrt{2},8\bigr),
– pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac23},\tfrac{40}{9}\bigr),
– zeros nos pontos (\pm2,0).

Resposta

Mínimo local em (0,0).
Máximos locais em \bigl(\pm\sqrt{2},8\bigr). f é côncava para cima em \bigl(-\sqrt{\tfrac23},\sqrt{\tfrac23}\bigr) e côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\sqrt{\tfrac23}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{\tfrac23},\infty\bigr).
Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac23},\tfrac{40}{9}\bigr).
O gráfico é par, com zeros em (\pm2,0), máximo em \pm\sqrt2 e mínimo em 0, conforme esboçado acima.

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