Determine a matriz da projeção P: R^2 R^2, P(x, y)=(x, 0) relativamente à base u, v subset R^2, onde u=(1,1) e v=(1,2).

Passo 1

O problema pede a matriz da projeção linear P:R^2toR^2, com definição P(x,y)=(x,0), relativa à base u,v, onde u=(1,1) e v=(1,2). Vamos usar o conceito de mudança de base para projeções lineares, que envolve calcular as coordenadas de P(u) e P(v) nessa base.

Passo 2

Aplicamos a projeção nos vetores da base. Como P(u)=P(1,1)=(1,0) e P(v)=P(1,2)=(1,0), ambas as imagens são (1,0).

Passo 3

Determinar os coeficientes a e b tais que (1,0) seja expressa na base u,v. Escrevemos a combinação linear:
a,u+b,v=(1,0)
Substituindo u=(1,1) e v=(1,2), formamos o sistema
a+b=1, a+2b=0

Passo 4

Resolvendo o sistema, subtraímos a primeira equação da segunda, obtendo b=-1. Substituindo em a+b=1, encontramos a=2.

Passo 5

Portanto, as coordenadas de P(u) e P(v) na base u,v são (2,-1). A matriz de P nessa base tem colunas dadas por essas coordenadas, ou seja, cada coluna é (2,-1).

Resposta

[ 2 & 2 -1 & -1]

Exercícios de Livros Relacionados