Determine a matriz da projeção
relativamente à base
, onde
e
.
Passo 1
O problema pede a matriz da projeção linear
, com definição
, relativa à base
, onde
e
. Vamos usar o conceito de mudança de base para projeções lineares, que envolve calcular as coordenadas de
e
nessa base.
Passo 2
Aplicamos a projeção nos vetores da base. Como
e
, ambas as imagens são
.
Passo 3
Determinar os coeficientes
e
tais que
seja expressa na base
. Escrevemos a combinação linear:
Substituindo
e
, formamos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, subtraímos a primeira equação da segunda, obtendo
. Substituindo em
, encontramos
.
Passo 5
Portanto, as coordenadas de
e
na base
são
. A matriz de
nessa base tem colunas dadas por essas coordenadas, ou seja, cada coluna é
.
Resposta
[
]