Sejam a uma matriz m times n, com m<n, e b uma matriz n times m. Podem ab e ba ser ambas invertíveis? Uma delas? Qual? Quando?

Passo 1

Estamos com uma matriz A de tamanho mtimes n e uma matriz B de tamanho ntimes m, com m<n. A questão é saber se os produtos AB (que é mtimes m) e BA (que é ntimes n) podem ser invertíveis.
Para uma matriz quadrada ser invertível, sua posto (rank) precisa ser igual à dimensão. Lembrando que para quaisquer matrizes compatíveis, vale rank(XY)<=minl(rank(X),rank(Y)r).

Passo 2

Como A é mtimes n, temos rank(A)<= m. Analogamente, rank(B)<= m pois B é ntimes m. Consequentemente
rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))<= m. Mas AB é uma matriz mtimes m, então pode atingir posto m e ser invertível exatamente quando

Passo 3

Por outro lado, BA é ntimes n. Porém rank(BA)<= m<n, o que impede que BA tenha posto n. Logo BA nunca é invertível.
Para ter rank(AB)=m (e assim AB invertível), é necessário e suficiente que rank(A)=m (ou seja, A tem posto máximo nas linhas) e rank(B)=m (ou seja, B tem posto máximo nas colunas).

Resposta

O produto AB pode ser invertível se, e somente se, rank(A)=rank(B)=m (isto é, A é de posto máximo m e B também). O produto BA jamais é invertível, pois seu posto é no máximo m<n.

Exercícios de Livros Relacionados