Sejam a uma matriz
, com
, e
uma matriz
. Podem ab e ba ser ambas invertíveis? Uma delas? Qual? Quando?
Passo 1
Estamos com uma matriz
de tamanho
e uma matriz
de tamanho
, com
. A questão é saber se os produtos
(que é
) e
(que é
) podem ser invertíveis.
Para uma matriz quadrada ser invertível, sua posto (rank) precisa ser igual à dimensão. Lembrando que para quaisquer matrizes compatíveis, vale .
Para uma matriz quadrada ser invertível, sua posto (rank) precisa ser igual à dimensão. Lembrando que para quaisquer matrizes compatíveis, vale
Passo 2
Como
é
, temos
. Analogamente,
pois
é
. Consequentemente
. Mas
é uma matriz
, então pode atingir posto
e ser invertível exatamente quando
Passo 3
Por outro lado,
é
. Porém
, o que impede que
tenha posto
. Logo
nunca é invertível.
Para ter (e assim
invertível), é necessário e suficiente que
(ou seja,
tem posto máximo nas linhas) e
(ou seja,
tem posto máximo nas colunas).
Para ter
Resposta
O produto
pode ser invertível se, e somente se,
(isto é,
é de posto máximo
e
também). O produto
jamais é invertível, pois seu posto é no máximo
.