Considere as transformações lineares
Determine a matriz de
(na base canônica) e prove que é uma matriz invertível.
Passo 1
O exercício considera duas transformações lineares: A de
em
que envia
no polinômio
, e B de
em
que avalia o polinômio em
. Precisamos achar a matriz de
na base canônica de
e mostrar que ela é invertível, usando teoria de determinantes (caso de Vandermonde).
Passo 2
Para montar a matriz de
, observamos como
age nos vetores da base canônica
de
. O vetor
(com 1 na posição
e zeros nas outras) é enviado por
no polinômio
. Em seguida,
avalia
em
, produzindo o vetor
Passo 3
Logo, a matriz de
em coordenadas canônicas tem como coluna
exatamente
. Ou seja, se chamarmos essa matriz de
, então
Passo 4
Essa matriz é o famoso sistema de Vandermonde nos pontos
. O determinante de uma matriz de Vandermonde
é dado por
Passo 5
Como todos os
para
são números inteiros positivos, temos
.
Uma matriz com determinante não nulo é invertível. Portanto, tem matriz invertível na base canônica.
Uma matriz com determinante não nulo é invertível. Portanto,
Resposta
A matriz de
na base canônica é dado por
o que é uma matriz de Vandermonde cujos pontos são
. Como
segue que
é invertível.