Considere as transformações lineares
& A: R^n+1 Pn, A(alpha0, alpha1, ldots, alphan)=alpha0+alpha1 x+cdots+alphan x^n & B: Pn R^n+1, B p(x)=(p(0), p(1), ldots, p(n))
Determine a matriz de B A: R^n+1 R^n+1 (na base canônica) e prove que é uma matriz invertível.

Passo 1

O exercício considera duas transformações lineares: A de R^n+1 em Pn que envia (alpha0,dots,alphan) no polinômio alpha0+alpha1x+cdots+alphanx^n, e B de Pn em R^n+1 que avalia o polinômio em 0,1,dots,n. Precisamos achar a matriz de BA na base canônica de R^n+1 e mostrar que ela é invertível, usando teoria de determinantes (caso de Vandermonde).

Passo 2

Para montar a matriz de BA, observamos como BA age nos vetores da base canônica ei de R^n+1. O vetor ei (com 1 na posição i e zeros nas outras) é enviado por A no polinômio x^i. Em seguida, B avalia x^i em 0,1,dots,n, produzindo o vetor
B(A(ei))=(0^i,1^i,2^i,dots,n^i)

Passo 3

Logo, a matriz de BA em coordenadas canônicas tem como coluna i+1 exatamente (0^i,1^i,dots,n^i)^T. Ou seja, se chamarmos essa matriz de M, então
M=(mjk)0<= j,k<= n, mjk=j^k

Passo 4

Essa matriz é o famoso sistema de Vandermonde nos pontos 0,1,dots,n. O determinante de uma matriz de Vandermonde (jk) é dado por
det M=prod0<= k<ell<= n(ell-k)

Passo 5

Como todos os ell-k para 0<= k<ell<= n são números inteiros positivos, temos det Mneq0.
Uma matriz com determinante não nulo é invertível. Portanto, BA tem matriz invertível na base canônica.

Resposta

A matriz de BA na base canônica é dado por
M=(mjk)0<= j,k<= n, mjk=j^k,
o que é uma matriz de Vandermonde cujos pontos são 0,1,dots,n. Como
det M=prod0<= k<ell<= n(ell-k)neq0,
segue que M é invertível.

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