Determine quais matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos se a matriz está em forma escalonada e se está em forma escalonada reduzida. O conteúdo usado é a definição de forma escalonada (row echelon form) e de forma escalonada reduzida (reduced row echelon form). Vamos precisar lembrar os critérios de cada uma.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz três condições principais:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula aparece sempre à direita do pivô da linha imediatamente acima.
  3. Abaixo de cada pivô todos os elementos são zero.

Passo 3

Verificação da forma escalonada na matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
– Não há linhas completamente nulas acima de linhas não nulas.
– Os pivôs são 1 na coluna 1 (linha 1), coluna 2 (linha 2) e coluna 3 (linha 3); cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
– Abaixo de cada pivô (nas colunas 1, 2 e 3) todos os elementos são zero.
Logo, a matriz está em forma escalonada.

Passo 4

Para estar em forma escalonada reduzida é preciso, além de satisfazer a forma escalonada, que cada pivô seja igual a 1 e que em cada coluna de pivô todos os demais elementos (acima e abaixo) sejam zero.

Passo 5

Verificação da forma escalonada reduzida na mesma matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
– Cada pivô é igual a 1.
– Nas colunas onde estão os pivôs (colunas 1, 2 e 3) não há outros elementos não nulos, seja acima ou abaixo.
Portanto, a matriz satisfaz também a forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz dada está em forma escalonada e, de fato, em forma escalonada reduzida.

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