Determine quais matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada.
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
como estando em forma escalonada (REF) e/ou em forma escalonada reduzida (RREF). Para isso, precisamos lembrar os critérios de REF e RREF:
  • Em REF todo pivô (primeiro 1 não nulo de cada linha) deve estar à direita do pivô da linha anterior, e abaixo de cada pivô só pode haver zeros.
  • Em RREF, além de ser REF, cada coluna de pivô deve ter zeros em todas as outras posições.]

Passo 2

Verificando se A está em forma escalonada (REF):
  1. O primeiro pivô é o 1 em A_{11}.
  2. O segundo pivô é o 1 em A_{22}, que está à direita do pivô anterior e acima dele só há zeros.
  3. O terceiro pivô é o 1 em A_{33}, que também está à direita do pivô anterior e acima dele só há zeros.
  4. Abaixo de cada pivô não existem elementos não nulos.
Logo, A satisfaz os requisitos de uma matriz em forma escalonada.

Passo 3

Verificando agora se A está em forma escalonada reduzida (RREF):
  • Precisaríamos que, em cada coluna de pivô, o pivô fosse o único elemento não nulo.
  • Na coluna 2, o pivô em A_{22} tem em cima o valor A_{12}=1\neq0.
  • Na coluna 3, o pivô em A_{33} tem em A_{23}=1\neq0.
Portanto, há entradas não nulas fora dos pivôs nessas colunas, o que impede A de estar em RREF.

Resposta

A matriz está em forma escalonada (REF), mas não está em forma escalonada reduzida (RREF).

Exercícios de Livros Relacionados